ДАННОЕ СООБЩЕНИЕ (МАТЕРИАЛ) СОЗДАНО И (ИЛИ) РАСПРОСТРАНЕНО ИНОСТРАННЫМ СРЕДСТВОМ МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ, ВЫПОЛНЯЮЩИМ ФУНКЦИИ ИНОСТРАННОГО АГЕНТА, И (ИЛИ) РОССИЙСКИМ ЮРИДИЧЕСКИМ ЛИЦОМ, ВЫПОЛНЯЮЩИМ ФУНКЦИИ ИНОСТРАННОГО АГЕНТА.

Спасите «Медузу»!
https://support.meduza.io

Математик Марина Вязовская окончила Киевский университет, а сейчас преподает в Федеральной политехнической школе Лозанны. В начале июля она получила медаль Филдса — высшую награду в математике, сравнимую по значимости с Нобелевской премией. Но уже несколько месяцев у Вязовской, которая занимается аналитической теорией чисел, не получается думать о математике: в Украине остаются ее родители, а к ней самой в Лозанну, спасаясь от российского вторжения, переехали ее сестры и племянники. Научный журнал Quanta рассказывает историю Марины Вязовской. «Медуза» публикует перевод этого текста с незначительными сокращениями.

В конце февраля — спустя несколько недель после того, как 37-летняя Марина Вязовская узнала, что ей присудили высшую награду в математике, медаль Филдса, — российские танки и военные самолеты начали вторжение на территорию ее родной страны Украины.

Вязовская на тот момент уже там не жила, но в Украине все еще находилась ее семья. Две сестры, девятилетняя племянница и восьмилетний племянник выехали в Швейцарию, где сейчас живет Вязовская. Им пришлось ждать два дня, чтобы количество отъезжающих уменьшилось, но даже после этого они добирались до запада страны крайне долго. Проведя несколько дней в доме незнакомых людей в ожидании своей очереди, семья ночью пешком перешла границу со Словакией, а затем с помощью Красного Креста добралась до Будапешта, где села на рейс в Женеву. 4 марта они прибыли в Лозанну и остановились у Вязовской, ее мужа, их 13-летнего сына и двухлетней дочери. 

Родители Вязовской, ее бабушка и другие члены семьи остались в Киеве. По мере того как российские танки все ближе подходили к дому ее родителей, Вязовская каждый день пыталась уговорить их уехать. Но 85-летняя бабушка, ребенком пережившая Вторую мировую и оккупацию, отказалась, а родители Марины не могли оставить ее одну.

Об украинцах, вынужденных бежать из своей страны

«Если бы можно было это прекратить, я бы жизнь свою отдала» Война в Украине привела к миграционной катастрофе, какой Европа не видела с 1940-х. Репортаж Кристины Сафоновой из Польши (полный боли и любви)

В марте российский авиаудар сравнял с землей завод по производству самолетов «Антонов», где отец Вязовской работал на закате советской эпохи. К счастью для родных Вязовской и других киевлян, в конце месяца Россия перенаправила свои силы на Донбасс. Но война еще не закончилась. Сестры Вязовской рассказывали ей о друзьях, которые ушли воевать, — некоторые из них погибли.

В мае Вязовская говорила, что, хотя война и математика существуют в разных частях ее разума, в последние месяцы она почти не занималась наукой. «Я не могу работать, когда у меня с кем-то конфликт или происходит что-то тяжелое с эмоциональной точки зрения», — сказала она.

Вязовская получила медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Хельсинки 5 мая. Эта конференция, которую раз в четыре года устраивает Международный математический союз, должна была проходить в Санкт-Петербурге — несмотря на озабоченность нарушениями прав человека в России и инициированную в связи с этим петицию о бойкоте, которую подписало более 400 математиков. Но когда Россия вторглась в Украину, союз решил провести конгресс онлайн, а церемонию награждения устроить в Финляндии. 

Подробнее об отмене математического конгресса

«Было ощущение, что в России можно заниматься наукой мирового уровня. Оно формировалось 30 лет, но теперь исчезнет — уже исчезло» Ученые рассказывают о том, что будет с российской наукой из-за войны

На церемонии Международный союз математиков перечислил множество математических достижений Вязовской — в первую очередь доказательство того, что решетка E₈ (она же решетка Коркина — Золотарева) является плотнейшей возможной упаковкой шаров в восьмимерном пространстве. Вязовская стала второй женщиной, которой присудили медаль Филдса за все 86 лет существования премии.

Как и другим лауреатам премии Филдса, Вязовской «удается делать совершенно неочевидные вещи, за которые брались многие другие и их ждала неудача», сказал математик Генри Кон, которого попросили произнести официальную речь о научных успехах Вязовской от лица конгресса. В отличие от остальных, сказал ученый, «она делает это, раскрывая очень простые, естественные, глубокие структуры, которые никто не ожидал и никто другой не смог бы обнаружить».

Вторая производная

Сразу отыскать здание Федеральной политехнической школы Лозанны возле станции метро EPFL в дождливый майский день не так просто. Это учебное заведение известно как ведущий исследовательский университет мира в области математики, физики и инженерного дела. Иногда вуз называют европейским MIT (Массачусетским технологическим институтом).

Внутри одного из модульных зданий профессор пропуском открывает оранжевые двери, ведущие в святая святых математического факультета. Прямо за портретами Эмми Нётер, Карла Гаусса, Феликса Кляйна, Петера Густава Дирихле, Анри Пуанкаре, Софьи Ковалевской и Давида Гильберта находится зеленая дверь с простой пометкой — «Проф. Марина Вязовская, кафедра арифметики».

Логотип Федеральной политехнической школы на ее территории. Лозанна, Швейцария

В офисе простая, прагматичная обстановка: компьютер, принтер, доска, бумаги и книги — и лишь несколько личных вещей. 

Ведущий мировой исследователь теории упаковки сфер начинает рассказывать свою историю в свойственной ей манере излагать по существу. Постепенно она расслабляется, поднимает глаза — и все больше оживляется, рассказывая о своем прошлом.

Самое раннее воспоминание: она, трехлетняя, выходит с бабушкой из хрущевки, где они жили, и идет по широкому бульвару к памятнику Владимира Вернадского. Там бабушка берет ее на руки и подбрасывает в воздух. Вязовская рассказывает, что в советское время ее семья жила очень скромно, а после распада СССР (Марине тогда было шесть лет), как и многие бывшие жители Союза в девяностые, испытывала финансовые проблемы.

Отца математик описывает как «крайне энергичного бывшего химика с предпринимательской жилкой». Вязовская вспоминает, как отец бросил работу и принял новую реальность, открывая одно дело за другим. Новая реальность была беспорядочной и непредсказуемой, говорит она. «Сегодня у тебя ничего нет, а завтра появляется какая-то возможность — и у тебя есть все».

Тем не менее, и Марина Вязовская, и ее супруг Даниил Евтушинский (он занимается физикой в политехнической школе Лозанны) вспоминают, что украинцы ощущали надежду и эйфорию по поводу перспектив экономического роста. «В экономике значение имеет производная, а не абсолютная величина», — говорит Евтушинский, имея в виду, что важны темпы роста, а не текущие активы.

Учитывая, насколько низким временами было это абсолютное значение, Вязовская парирует: «Ну, может, вторая производная». 

Почти бесконечность

Будучи первоклассницей, Вязовская осознала, что математика ей нравится гораздо больше языков и литературы: «Я не успевала по чтению. Я неаккуратно писала. Но по математике я соображала».

Не то чтобы она не любила читать. Марина читала Александра Дюма, Жюля Верна и приключенческие книги о пиратах, которые ей давали родители. Позднее она открыла для себя научную фантастику и влюбилась в этот жанр. Особенно ей запомнились «Цветы для Элджернона» (рассказ о человеке с особенностями развития и лабораторной мыши, которые подвергаются экспериментальной процедуре по повышению интеллекта), потому что он «на самом деле про нас» — про человеческую природу, а не фантастическую технологию. Она проглатывала научно-фантастические произведения братьев Аркадия и Бориса Стругацких. Их ранние работы были излишне оптимистичными и наивными в своем отношении к коммунизму, говорит она, однако со временем их творчество становилось все менее светлым, «гораздо умнее и гораздо глубже». 

Евтушинский вспоминает свою первую встречу с Вязовской в физическом кружке, им было около двенадцати. Уже тогда Марина подходила к математическим задачкам по-своему. В одной из задач фигурировала физическая система с семью элементами. «Марина сделала предположение, что семь — это почти бесконечность». Экстраординарное приближение «отлично сработало и кардинально упростило задачу», — рассказывает Евтушинский. «Никто другой такого предложить не смог». 

Младшие сестры Вязовской Наталья и Татьяна вспоминают, какой талантливой и целеустремленной она была еще ребенком. «Когда все идут спать, она берет блокнот и рисует формулы», — рассказывает Наталья. 

Вязовская училась в специализированном естественно-научном лицее. Там она погрузилась в мир математических олимпиад. «Это учит побеждать и проигрывать», — говорит Вязовская. В последний год в лицее она мечтала представлять Украину на Международной математической олимпиаде. 12 первых участников национального соревнования отправляются в лагерь, где из них выбирают шестерых членов национальной команды. Вязовская оказалась на 13-м месте. 

Глава украинской программы математических олимпиад и профессор математики Киевского университета Богдан Рублев рассказывает, что из-за войны команда олимпиадников сейчас тренируется в Польше, хотя сам он обязан оставаться в Украине, будучи 58-летним военнообязанным в запасе. В марте в результате российского авиаудара по Харькову погибла 21-летняя математик Юлия Ждановская. Пять лет назад Ждановская получила серебряную медаль на Европейской математической олимпиаде среди девочек. «Я хорошо ее знал, — говорит он. — Это катастрофа для нашей страны, что гибнут такие молодые и талантливые». 

В мае, за несколько недель до объявления победителей медали Филдса, Рублев был убежден в том, что украинский гражданин не может получить престижнейшую математическую премию из-за влияния России на мировой арене. «Очень жаль, что Вязовской не дали премию Филдса, — сокрушался он. — Потому что она этого заслуживает».

Марина Вязовская получает медаль Филдса из рук президента Международного математического союза (IMU) Карлоса Кенига во время церемонии награждения на Международном конгрессе математиков в Хельсинки, Финляндия. 5 июля 2022 года

Делать правильно

В 2005 году Вязовская в сотрудничестве с коллегой работала над своим первым самостоятельным исследованием: она училась на последнем курсе Киевского университета. Хотя она и не совершила большого открытия, она осознала, что может решить задачу. Вязовская обрадовалась, «ощутив, что доказательство сходится и работает». Результат придал ей уверенности в себе. 

Вдохновил Вязовскую на изучение этой проблемы преподаватель математики Киевского университета Игорь Шевчук. Шевчук обсуждал задачу с некоторыми людьми, говорит она, включая ее и студента магистратуры Андрея Бондаренко. Работа, которую они написали вместе с Бондаренко, положила начало плодотворному периоду их совместной работы. Позднее, когда Бондаренко преподавал в Киевском университете, у него появился сильный студент — Даниил Радченко. Трое молодых украинских ученых объединили усилия.

В 2011 году Вязовская, Бондаренко и Радченко отправили свою работу на тему сферических дизайнов (часть теории комбинаторных схем) в журнал Annals of Mathematics. «Анналы» — пожалуй, самый престижный математический научный журнал. Когда Радченко рассказал об этом Дону Цагиру, который на тот момент был их научным руководителем, тот подумал про себя: «Мечтайте дальше…»

Однако публикацию приняли, и вскоре математики уже собирали конференции для ее обсуждения. «Ого, какая потрясающая статья», — подумал Генри Кон из Microsoft Research и Массачусетского технологического института.

В статье рассматривается классическая проблема анализа поведения функции путем изучения ее значений в некоторых точках. В версии, которую рассматривали математики в данном случае, функция является многочленом — скажем, что-то вроде 4xy²z⁵ + 3x⁴ — и мы можем рассматривать каждое возможное значение многочлена как точку в пространстве, размерность которого соответствует числу переменных (так, для вышеупомянутого многочлена каждое значение будет точкой в трехмерном пространстве с осями x-, y- и z). 

В задаче, которую изучали Вязовская и ее коллеги, нас интересует среднее значение многочлена на сфере. Мы можем приближенно определить его, выбрав несколько точек на сфере и усреднив значения многочлена в этих точках. Если нам очень повезет — или если мы тщательно выберем точки, — мы сможем получить даже не приближенный, а точный ответ.

Математики давно знают, что для каждого многочлена можно выбрать некоторое конечное множество точек, которое дает такой точный ответ. Более того, можно выбрать один набор точек, который будет работать для всех многочленов до некоторой заданной степени (наибольшая сумма экспонент в любом из членов многочлена). Например, если вы имеете дело с трехмерным пространством, вы можете вписать правильный икосаэдр в сферу и использовать его 12 вершин в качестве такого набора точек, и тогда гарантированно получите точный ответ для всех многочленов до степени 5. Набор таких 12 точек называется сферическим (чебышевским) дизайном.

С 1970-х годов математики задаются вопросом: как растет число точек в сферическом дизайне, если рассматривать многочлены все более высокой степени? На этот вопрос и ответили Вязовская, Бондаренко и Радченко.

«Многие люди об этом думали очень давно, но после длинной серии неоптимальных дизайнов вдруг появляется эта статья, в которой говорится: „Смотрите, почему бы вам не сделать это вот так, и тогда вы точно получите правильное ограничение, ч. т. д.“, — объясняет Кон. — Не то чтобы они испробовали всевозможные изощренные способы для получения такого результата — они просто выбрали правильный путь».

Магические функции

Будучи студенткой, Вязовская жила, по ее выражению, «двойной жизнью», совмещая изучение двух, казалось бы, разных областей — алгебры и математического анализа. Однако затем она отправилась в Бонн писать докторскую и начала изучать модулярные формы, функции с особой симметрией, — похожие на те, что фигурируют в круглых черепицах художника Маурица Корнелиса Эшера. В модулярных формах много анализа, но их симметрия также привносит в картину алгебру. «Я осознала, что здесь мои две страсти пересекаются», — говорит она. 

Вместе с Бондаренко и Радченко Вязовская начала изучать, могут ли модулярные формы дать ответ на вопрос, которым ученые задавались столетиями: как максимально плотно упаковать шары. Математики уже знали, что наиболее плотный способ уложить круги на плоскости — это упаковка в виде сот, а самый плотный метод упаковки шаров в трехмерном пространстве — пирамидальная укладка (наподобие того, как хранятся апельсины на витрине магазина). Но этот вопрос можно задать и в более высоких измерениях, где он имеет важное практическое применение для кодирования информации с учетом возможности ошибок. 

Никто не знал, каковы самые плотные упаковки сфер в измерениях выше трех. Но два специальных измерения — 8 и 24 — имели сильных кандидатов на эту роль. В этих двух измерениях существуют высокосимметричные упаковки, называемые соответственно E₈ и решеткой Лича, которые упаковывают сферы гораздо плотнее, чем любые другие упаковки, которые удавалось найти математикам.

Кон и Ноам Элкис из Гарвардского университета разработали метод, который использует определенные функции для вычисления верхних границ плотности упаковки сфер. В измерениях 8 и 24 эти верхние границы почти идеально совпадали с упаковкой E₈ и решеткой Лича. Математики были уверены, что в каждом из этих двух измерений должна существовать «волшебная» функция, граница которой идеально совпадает с E₈ или решеткой Лича, и что тем самым доказывает, что они действительно являются самыми плотными упаковками. Но исследователи понятия не имели, как найти эти волшебные функции.

Бондаренко, Вязовская и Радченко изучали модулярные формы в попытке построить магическую функцию, но долгое время не могли добиться успеха. В конечном итоге Бондаренко и Радченко переключили свое внимание на другие математические проблемы. Вязовская, однако, не могла перестать думать об упаковке сфер. Как она позднее рассказывала Quanta Magazine, ей почему-то казалось, что это «ее задача».

После нескольких лет размышлений над этой проблемой, в 2016 году ей удалось найти магическую функцию для восьмимерного пространства. Ответ, как оказалось, лежал не в модульной форме, а в некой «квазимодульной» форме, то есть в форме с ошибками в симметрии. 

Она опубликовала «потрясающую работу», считает Питер Сарнак из Института перспективных исследований. «Это одна из тех статей, которую ты начинаешь читать и не можешь отложить, пока не прочтешь всю целиком». 

Новость о результатах работы начала распространяться уже в течение нескольких часов после выхода публикации. В тот вечер математик из Института перспективных исследований (сам медалист Филдса) Акшай Венкатеш отправил Кону письмо со ссылкой на статью, указав в теме сообщения «Ого!» «Моей первой реакцией было — это еще что такое? Не похоже ни на одну из других попыток построить эти функции», — вспоминает Кон.

По его словам, квазимодулярная форма, которую использовала Вязовская, всегда казалась ему «просто дефектной версией модулярных форм». Однако, как оказалось, «в глубине таилась целая выдающаяся теория». Убежденный в том, что подход Вязовской стоит также применить к 24-мерному пространству, он написал ей с предложением о сотрудничестве. 

Вязовская согласилась погрузиться в 24-мерную задачу, и в течение одной напряженной недели они с Коном (при помощи Радченко и двух других математиков) сумели доказать, что решетка Лича — самая плотная 24-мерная упаковка шаров. «Пожалуй, это была самая безумная неделя в моей жизни», — вспоминает Радченко. 

Смелая гипотеза

Вязовская и ее коллеги закончили работу по упаковке сфер с бо́льшими амбициями. Математики давно подозревали, что E₈ и решетка Лича — это нечто большее, чем просто лучший способ упаковки сфер. Математики предположили, что эти две решетки являются «универсально оптимальными», то есть наилучшими по целому ряду критериев — например, как наименее энергозатратный способ расположения взаимно отталкивающихся электронов в пространстве или полимеров в растворе.

Чтобы доказать, что E₈ и решетка Лича минимизируют энергию во всех этих различных контекстах, команда должна была придумать магические функции для каждого отдельного понятия энергии — то есть бесконечно много магических функций. Но у них была лишь частичная информация о том, как должна вести себя такая магическая функция (если она существует). Они знали значение функции в некоторых точках, а в других точках они знали значение ее преобразования Фурье, которое соответствует собственным частотам функции. Они также знали, как быстро изменяется функция и ее преобразование Фурье в определенных точках. Вопрос заключался в следующем: достаточно ли этой информации для восстановления функции?

Вязовская сделала смелое предположение: данных, которыми располагала команда, было ровно столько, сколько нужно, чтобы «додавить» магическую функцию. Будь их меньше, подходило бы множество функций. Будь их больше, функция была бы слишком сложной, чтобы существовать. 

У Кона были сомнения. То, что предлагала Вязовская, было настолько просто и фундаментально, что «если бы это было верно, человечество уже точно знало бы это», — рассуждал он. Однако он также знал, что Вязовская не относится к построению гипотез легкомысленно. 

Сначала Вязовской и Радченко удалось доказать упрощенную версию ее гипотезы, в которой информация ограничивается значениями функции и ее преобразования Фурье, а не скоростью их изменения. Затем, вместе со своими коллегами, занимающимися упаковкой сфер, они выяснили, как доказать полную версию гипотезы — именно то, что было необходимо, чтобы показать, что E₈ и решетка Лича являются универсально оптимальными. 

Итоговая работа, по мнению Сильвии Сервати из Нью-Йоркского университета, сравнима с великими научными прорывами XIX века — тогда математики решили множество задач, которые веками сбивали с толку их предшественников. «Эта статья — действительно великое научное достижение», — говорит она. «Я нахожу крайне удивительным тот факт, что человеческий мозг способен произвести на свет такое доказательство». 

Война и мир

Когда Вязовская занимается математикой, кажется, будто она пребывает в другой плоскости или в ином измерении. «Иногда мама не реагирует, когда к ней обращаешься», — говорит ее сын-подросток Михаил. Он вспоминает, как однажды его последним забрали из детского сада (Вязовская тогда работала над E₈). 

В их квартире в Лозанне в двадцати минутах от кампуса политехнической школы в гостиной стоит дополнительная кровать для Натальи, Татьяны и детей Татьяны Александры и Максима. Этой весной Александра отмечала свой десятый день рождения не дома в Киеве, а у тети Марины в Лозанне.

На стене в квартире висит большой рисунок Вязовской — вид на Женевское озеро. С самого детства рисование было для нее еще одним способом уйти от реальности — помимо математики.

Женевское озеро

Некоторые из ее рисунков содержат отсылки к математике и другим наукам — например, бутылка Кляйна с рыбками в стиле Эшера. Сложно изучать математику, не интересуясь бутылками Кляйна и Эшером, считает Вязовская. Иногда она рисует картинки, чтобы визуализировать геометрические идеи в своей работе. «Двухмерная и трехмерная интуиция зачастую вводит нас в заблуждение, когда мы имеем дело с более высокой размерностью», — отмечает математик. 

Вязовская ходит на работу пешком: потому что это полезно и потому что ни она, ни ее муж не водят машину — на эту тему супруги друг друга подкалывают. «У Марины есть права, но ей крайне сложно дается вождение в нашем трехмерном мире», — шутит Евтушинский.

Разговор неизбежно возвращается к теме конфликта в Украине. Бабушка Вязовской, которая по-прежнему не планирует уезжать из Украины, сказала ей, что невзирая на свой возраст — и на то, что время ее подходит, — она не хочет умирать до конца войны: «Я хочу увидеть мир и хочу знать, что все будет нормально».

Вязовская гордится своей страной, но сильно переживает, что ее соотечественникам приходится привыкать к воздушной тревоге и обстрелам. Спустя несколько дней после начала войны ее племянник Максим начал ходить во сне. «Это все не просто так; у такого сильного стресса и беспредельного ужаса будут последствия», — уверена Вязовская.

«Но хотя бы тираны не могут заставить нас прекратить заниматься математикой. Есть по крайней мере что-то, что они не могут у нас отнять». 

О разных судьбах математиков из Украины после российского вторжения

Несвобода для меня хуже смерти В Москве покончил с собой Константин Ольмезов — математик родом из Украины. После начала войны он пытался покинуть Россию, но его арестовали

Перевела Дина Мингалиева

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You May Also Like

Moscow cautions about choppers and jets from Afghanistan

Moscow cautions about choppers and jets from Afghanistan

«Коммерсант»: делегации России и США проводят в Турции первые переговоры после начала войны. Кремль это не подтвердил, но и не опроверг

«Коммерсант»: делегации России и США проводят в Турции первые переговоры после начала войны. Кремль это не подтвердил, но и не опроверг

US supports demilitarized zone at Ukraine nuclear plant

US supports demilitarized zone at Ukraine nuclear plant

Тайвань отверг предложенную Китаем модель «Одна страна — две системы»

Тайвань отверг предложенную Китаем модель «Одна страна — две системы»